Bài 85 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d₁ đi qua điểm M₁(-23;-10;0), có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) (8 ; 4; 1) và đường thẳng d₂ đi qua điểm M₂(3; -2; 0), có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} (2; -2; 1)\).

a) Viết phương trình các mặt phẳng (P₁), (P₂) lần lượt đi qua d₁, d₂ và song song với nhau

b) Tính khoảng cách giữa d₁ và d₂.

c) Viết phương trình đường thẳng  \(\Delta \) song song với Oz và cắt cả d₁, d₂.

Giải

a) Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}}  = (8 ; 4 ; 1)\).

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}}  = (2 ; -2 ; 1)\).

Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {6{\rm{ }};{\rm{ }} - 6{\rm{ }};{\rm{ }} - 24} \right)\) nên \(\overrightarrow n \) = (1 ; -1 ; -4) là một vectơ pháp tuyến của (P₁) và (P₂).

Mặt phẳng (P₁) đi qua M₁ (-23 ; -10 ; 0) nên có phương trình:

\(\left( {x + 23} \right) - \left( {y + 10} \right) - 4z = 0\) hay \(x - y - 4z + 13 = 0.\)

Mặt phẳng (P₂) đi qua M₂(3 ; -2 ; 0) nên có phương trình:

\(\left( {x - 3} \right) - \left( {y + 2} \right) - 4z = 0\) hay \(x - y - 4z - 5 = 0.\)

b) Khoảng cách h giữa d₁ và d₂ bằng khoảng cách từ điểm M bất kì thuộc (P₁) tới (P₂). Lấy M = (0 ; 1 ; 3), ta có \(h = {{\left| { - 1 - 12 - 5} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} }} = {{18} \over {\sqrt {18} }} = 3\sqrt {2.} \)

c) Gọi (\(\alpha \)) là mặt phẳng đi qua d₁ và song song với Oz,

(\(\alpha \)) có phương trình : \(x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)  (vì \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow k } \right]\)).

Tương tự, mặt phẳng (\(\beta \)) đi qua d₂ và song song với Oz có phương trình :

\(x + y - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)  (vì \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right]\)).

Dễ thấy giao tuyến của hai mặt phẳng (\(\alpha \)) và (\(\beta \)) chính là đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.

\(\Delta \) có phương trình là: \(\left\{ \matrix{   \hfill \cr  x = {{ - 1} \over 3} \hfill \cr  y = {4 \over 3} \hfill \cr  z = t. \hfill \cr}  \right.\)

Sachbaitap.com