Câu 103 trang 22 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Chứng minh

\(x - \sqrt x  + 1 = {\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}\) với x > 0

Từ đó, cho biết biểu thức \({1 \over {x - \sqrt x  + 1}}\) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ?

Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu ?

Gợi ý làm bài:

Ta có: \({\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} = x - \sqrt x  + {1 \over 4} + {3 \over 4} = x - \sqrt x  + 1\)

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Ta có: \({1 \over {x - \sqrt x  + 1}} = {1 \over {{{\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}}}\) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}\)  bé nhất.

Vì \({\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}\)

Ta có \({\left( {\sqrt x  - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}\) bé nhất bằng \({3 \over 4}\)

Khi đó: \({1 \over {x - \sqrt x  + 1}} = {1 \over {{3 \over 4}}} = {4 \over 3} \Rightarrow \sqrt x  - {1 \over 2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 4}\)

Vậy \({1 \over {x - \sqrt x  + 1}}\) có giá trị lớn nhất bằng \({4 \over 3}\) khi \(x = {1 \over 4}\).

Sachbaitap.com