Câu 1.18 trang 13 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y = \sin {x^2} - \sqrt 3 {\rm{cos}}x;x \in \left[ {0;\pi } \right]\)

b) \(y = 2\sin x + {\rm{cos2}}x;x \in \left[ {0;\pi } \right]\)

Giải          

a) \(y' = 2\sin x\cos x + \sqrt 3 \sin x\)           

        \( = \sin x(2\cos x + \sqrt 3 )\)

Với \(0 < x < \pi \)  ta có \(\sin x > 0\) . Do đó

        \(y' = 0 \Leftrightarrow \cos x =  - {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow x = {{5\pi } \over 6}\)

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 1{3 \over 4}\)

Có thể áp dụng quy tắc 2

\(y' = \sin 2x + \sqrt 3 \sin x;y'' = 2\cos x + \sqrt 3 \cos x\)

\(y'' = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 2\cos {{5\pi } \over 6} + \sqrt 3 \cos {{5\pi } \over 6} \)

      \(= 2.{1 \over 2} + \sqrt 3 \left( { - {{\sqrt 3 } \over 2}} \right) =  - {1 \over 2} < 0\)

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = 1{3 \over 4}\)

b) \(y' = 2\cos x - 2\sin 2x = 2\cos x(1 - 2\sin x)\)

Với \(0 < x < \pi \) , ta có

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 0 \hfill \cr  \sin x = {1 \over 2} \hfill \cr}  \right.\Leftrightarrow x = {\pi  \over 2},x = {\pi  \over 6},x = {{5\pi } \over 6}\)

Ta áp dụng quy tắc 2

\(y'' =  - 2\sin x - 4\cos 2x\)

\(y'' = \left( {{\pi  \over 2}} \right) =  - 2\sin {\pi  \over 2} - 4\cos x = 2 > 0\)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = {\pi  \over 2};y\left( {{\pi  \over 2}} \right) = 1\)

                                \(y''\left( {{\pi  \over 6}} \right) =  - 2\sin {\pi  \over 6} - 4\cos {\pi  \over 3} =  - 3 < 0\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {\pi  \over 6};y\left( {{\pi  \over 6}} \right) = {3 \over 2}\)

                                \(y'' = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) =  - 2\sin {{5\pi } \over 6} - 4\cos x{{5\pi } \over 3} =  - 3 < 0\)

Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = {{5\pi } \over 6};y = \left( {{{5\pi } \over 6}} \right) = {3 \over 2}\)

Sachbaitap.com