Câu 16 trang 223 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 16 trang 223 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Cho hai đường thẳng ∆ và ∆’ chéo nhau và vuông góc với nhau. (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng ∆’ và vuông góc với ∆ (A ≠ I). Hai điểm B, C thay đổi trên ∆’ sao cho mp(B, ∆) vuông góc với mp(C, ∆). Gọi AA’, BB’, CC’ là các đường cao của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) \(A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}\) không đổi. b) A’B.A’C không đổi và trực tâm của tam giác ABC là điểm cố định. c) Các điểm B’, C’ thuộc một đường tròn cố định. Trả lời Ta có \(AI \bot \left( {IBC} \right)\) nên \(\widehat {BIC}\) hoặc \({180^0} - \widehat {BIC}\) là góc giữa mp(B, ∆) và mp(C, ∆). Theo giả thiết \(mp\left( {B,\Delta } \right) \bot mp\left( {C,\Delta } \right)\) nên \(\widehat {BIC} = {90^0}\). Như vậy tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc. a) Ta có \(\eqalign{ & A{B^2} + A{C^2} - B{C^2} \cr & = A{I^2} + I{B^2} + A{I^2} + I{C^2} - B{C^2} \cr & = 2{\rm{A}}{I^2} \cr} \) Điều này khẳng định \(A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}\) không đổi. b) Dễ thấy IA’ là đường cao của tam giác vuông IBC. Vậy \(A'B.A'C = IA{'^2}\). Vì \(IA' \bot \Delta '\) nên IA’ là cố định, do đó A’B.A’C không đổi. Vì IABC là tứ diện có các cạnh IA, IB, IC đôi một vuông góc nên trực tâm của tam giác ABC là hình chiếu H của điểm I trên mặt phẳng (ABC) (trùng với mặt phẳng (A, ∆’)). Vậy trực tâm H của tam giác ABC là điểm cố định. c) Ta có B’, C’ thuộc mp(A, ∆). \(\widehat {AB'H} = \widehat {AC'H} = {90^0}\). Vậy B’, C’ thuộc đường tròn đường kính AH trong mp(A, ∆’). Đường tròn này cố định. Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
Xem thêm tại đây:
ÔN TẬP CUỐI NĂM - HÌNH HỌC
|
Giải bài tập Câu 17 trang 223 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 18 trang 224 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 19 trang 224 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao