Câu 2.106 trang 87 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

a) \({2^{{{\cos }^2}x}} + {4.2^{{{\sin }^2}x}} = 6\)

b) \({3^{2\sin x + 2\cos x + 1}} - {\left( {{1 \over {15}}} \right)^{ - \cos x - \sin x{\rm{ - lo}}{{\rm{g}}_{15}}8}} \)

\(+ {5^{^{2\sin x + 2\cos x + 1}}} = 0.\)

Giải

a) Đặt \(t = {2^{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}}\left( {1 \le t \le 2} \right)\), ta được phương trình \({t^2} - 6t + 8 = 0\).

Giải ra ta được \(t = 4\) (loại) và \(t = 2\)  

Với \(t=2\) ta có:

\({2^{{{\cos }^2}x}} = 2 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = 1 \)

\(\Leftrightarrow \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi (k \in Z)\)

b) \(x = {{3\pi } \over 4} + k\pi ;x = \pi  + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Biến đổi phương trình về dạng

                                \({3.3^{2\left( {\sin x + \cos x} \right)}} - {8.15^{\cos x + \sin x}} + {5.5^{2\left( {\sin x + \cos x} \right)}} = 0.\)

Chia cả hai vế của phương trình cho \({3^{2\left( {\sin x + \cos x} \right)}}\), rồi đặt \(t = {\left( {{5 \over 3}} \right)^{{\rm{cos}}x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x}}\) với \(\left( {t > 0} \right)\) dẫn đến phương trình:

                                \(5{t^2} - 8t + 3 = 0\)

Giải ra ta được \(t = 1\)  và \(t = {3 \over 5}\)

- Với \(t = 1\) ta có \({\left( {{5 \over 3}} \right)^{{\rm{cos}}x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x}} = 1\), dẫn đến \({\rm{cos}}x + \sin x = 0\) hay \({\rm{cos}}\left( {x - {\pi  \over 4}} \right) = 0\)

Do vậy \(x = {{3\pi } \over 4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\)

- Với \(t = {3 \over 5}\) ta có \({\left( {{5 \over 3}} \right)^{{\rm{cos}}x + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x}} = {3 \over 5}\), dẫn đến \({\rm{cos}}x + \sin x =  - 1\) hay \({\rm{cos}}\left( {x - {\pi  \over 4}} \right) =  - {1 \over {\sqrt 2 }}\)

Do vậy \(x = \pi  + k2\pi ;x = {-\pi  \over 2} + k2\pi \left( {k \in Z} \right)\)

Sachbaitap.com