Câu 2.109 trang 88 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tùy theo m ,hãy biện số nghiệm của phương trình:

                                $\left( {m - 3} \right){.9^x} + 2\left( {m + 1} \right){.3^x} - m - 1 = 0$

Giải

 Đặt $y = {3^x}(y > 0)$, ta có

                                $\left( {m - 3} \right){y^2} + 2\left( {m + 1} \right)y - \left( {m + 1} \right) = 0$ (1)

Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số nghiệm dương của (1)

- Xét $m = 3$ thì (1) có nghiệm $y = {1 \over 2}$ (thỏa mãn $y > 0$)

- Nếu $m \ne 3$  thì

$\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} + \left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right)$

$= 2\left( {m + 1} \right)\left( {m - 1} \right)$

Đặt $f(y) = \left( {m - 3} \right){y^2} + 2\left( {m + 1} \right)y - \left( {m + 1} \right)$, ta có:

       $\eqalign{& \left( {m - 3} \right)f(0) = \left( {3 - m} \right)\left( {m + 1} \right)  \cr& S = {{2\left( {m + 1} \right)} \over {3 - m}} \cr}$

Lập bảng xét dấu:

Từ đó bangr xét dấu ta có:

- Với $m\le - 1$ hoặc $m \ge 3$ hoặc $m = 1$ thì phương trình có một nghiệm,

- Với $- 1 < m < 1$ thì phương trình vô nghiệm.

- Với $1 < m < 3$ thì phương trình có hai nghiệm.

Sachbaitap.com