Câu 2.116 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a )\(\left\{ \matrix{{\log ^2}x = {\log ^2}y + {\log ^2}xy \hfill \cr{\log ^2}\left( {x - y} \right) + \log x\log y = 0 \hfill \cr}  \right.\)

b) \(\left\{ \matrix{{3^{\log x}} = {4^{\log y}} \hfill \cr{\left( {4x} \right)^{\log 4}} = {\left( {3y} \right)^{\log 3}} \hfill \cr}  \right.\)

Giải

a) ĐKXĐ: \(x > 0,y > 0,x > y\)

Biến đổi phương trình đầu như sau:

\(\eqalign{& {\log ^2}x = {\log ^2}y + {\left( {\log x + \log y} \right)^2} \cr&\Leftrightarrow 2{\log ^2}y + 2\log x\log y = 0  \cr&  \Leftrightarrow \log y\left( {\log x + \log y} \right) = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{\log y = 0 \hfill \cr\log x + \log y = 0 \hfill \cr}  \right.\left[ \matrix{ y = 1 \hfill \cr y = {1 \over x} \hfill \cr}  \right. \cr} \)

- Với \(y = 1\), thế vào phương trình thứ hai ta được

\({\log ^2}\left( {x - 1} \right) + \log x\log 1 = 0 \)

\(\Leftrightarrow x - 1 = 1 \Leftrightarrow x = 2\)

- Với \(y = {1 \over x}\),  thế vào phương trình thứ hai ta được

 \(\eqalign{& {\log ^2}\left( {x - {1 \over x}} \right) + \log x\log {1 \over x} = 0 \cr&\Leftrightarrow{\log ^2}{{{x^2} - 1} \over x} - {\log ^2}x = 0  \cr &  \Leftrightarrow \left[ \matrix{lo{g^2}{{{x^2} - 1} \over x} = \log x \hfill \cr lo{g^2}{{{x^2} - 1} \over x} =  - \log x \hfill \cr}  \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{{x^2} - 1 = {x^2}\left( {loại} \right) \hfill \cr {{{x^2} - 1} \over x} = {1 \over x} \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow {x^2} = 2 \cr} \)

Kết hợp với ĐKXĐ, ta được \(x = \sqrt 2 ;y = {1 \over {\sqrt 2 }}\)

Vậy \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {2;1} \right),\left( {\sqrt 2 ;{1 \over {\sqrt 2 }}} \right)\)

b) 

Lôgarit có số 10 của hai vế phương trình trong hệ ta được

\(\left\{ \matrix{\log x\log 3 = \log y\log 4 \hfill \cr\log 4\left( {\log 4 + \log x} \right) = \log 3\left( {\log 3 + \log y} \right) \hfill \cr}  \right.\)

Rồi đặt \(u = \log x,v = \log y\)

Tìm u, v giải ra x, y ta được:

\(\left( {x;y} \right) = \left( {{1 \over 4};{1 \over 3}} \right)\)

Sachbaitap.com