Câu 2.117 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a ) \(\left\{ \matrix{ {4^{{{\log }_3}xy}} = 2 + {\left( {xy} \right)^{{{\log }_3}2}} \hfill \cr {x^2} + {y^2} - 3x - 3y = 12 \hfill \cr}  \right.\)

b)  \(\left\{ \matrix{ y = 1 + {\log _2}x \hfill \cr{x^y} = 64 \hfill \cr}  \right.\)

Giải

a) \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {3 - \sqrt 6 ;3 + \sqrt 6 } \right),\left( {3 + \sqrt 6 ;3 - \sqrt 6 } \right)\)

ĐKXĐ: \(xy > 0\)

Áp dụng công thức \({a^{{{\log }_c}b}} = {b^{{{\log }_c}a}}\) , phương trình đầu của hệ có thể viết thành

                                \({\left( {{2^2}} \right)^{{{\log }_3}xy}} = 2 + {2^{{{\log }_3}xy}}\)

Đặt \(t = {2^{{{\log }_3}xy}}\left( {t > 0} \right)\) ta có \({t^2} = 2 + t\). Giải phương trình ta tìm được \(t =  - 1\) (loại) và \(t = 2\). Từ đó \({\log _3}xy = 1\) hay \(xy = 3\)  

Biến đổi phương trình thứ hai của hệ thành

                                \({\left( {x + y} \right)^2} - 3\left( {x + y} \right) - 18 = 0\)

Giải ra, ta được \(x + y = 6\) và \(x + y =  - 3\)

Như vậy, ta có hai hệ phương trình

                                \(\left\{ \matrix{ x + y = 6 \hfill \cr xy = 3 \hfill \cr}  \right.\) và \(\left\{ \matrix{ x + y =  - 3 \hfill \cr xy = 3 \hfill \cr}  \right.\)

Vậy \(\left( {x;y} \right)\) là \(\left( {3 - \sqrt 6 ;3 + \sqrt 6 } \right),\left( {3 + \sqrt 6 ;3 - \sqrt 6 } \right)\)

b) 

Thế y từ phương trình đầu vào phương trình thứ hai rồi lấy lôgarit cơ số 2 cả hai vế.

\(\eqalign{
& \left( {1 + {{\log }_2}x} \right){\log _2}x = 6 \Leftrightarrow \log _2^2x + {\log _2}x - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 2 \hfill \cr
{\log _2}x = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 4 \Rightarrow y = 3 \hfill \cr
x = {1 \over 8} \Rightarrow y = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy nghiệm của hệ là: \(\left( {4;3} \right),\left( {{1 \over 8}; - 2} \right)\)

Sachbaitap.com