Câu 2.120 trang 89 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau xác định với mọi x:

a) \(y = {\log _5}\left( {{x^2} - mx + m + 2} \right)\)  

b) \(y = {1 \over {\sqrt {{{\log }_3}\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right)} }}\)                                           

c) \(y = {\log _2}{\log _3}\left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m} \right]\)

Giải

a) Điều kiện: \({x^2} - mx + m + 2 > 0\) với mọi x, dẫn đến \(\Delta  = {m^2} - 4m - 8 < 0\)   

\(\Leftrightarrow 2 - 2\sqrt 3  < m < 2 + 2\sqrt 3 \)          

b) Điều kiện: \({\log }_3\left( {{x^2} - 2x + 3m} \right) >0\)             

 \(\Leftrightarrow{x^2} - 2x + 3m > 1\) với mọi x do đó  \(m > {2 \over 3}\)  

c) 

Hàm số \(y = {\log _2}{\log _3}\left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m} \right]\) xác đinh với mọi x khi và chỉ khi

 \({\log _3}\left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m} \right] > 0\) với mọi x, tức là

\( {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + m}  > 0\) với mọi x   (1)

+ Với \(m = 2\)  (không thỏa mãn)

+ Với \(m \ne 2\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{\Delta ' =  - 3m + 7 < 0 \hfill \cr a = m - 2 > 0 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m > {7 \over 3} \hfill \cr m > 2 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow m > {7 \over 3}\)

Sachbaitap.com