Câu 2.50 trang 77 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a) Biết \({\log _7}12 = a\) , \({\log _{12}}24 = b\). Tính \({\log _{54}}168\) theo a và b.

b) Biết \({\log _6}15 = a\),\({\log _{12}}18 = b\).Tính \({\log _{25}}24\) theo a và b.

Giải

a) \({\log _{54}}168 = {{{{\log }_7}168} \over {{{\log }_7}54}} = {{{{\log }_7}\left( {3.7.8} \right)} \over {{{\log }_7}\left( {{{2.3}^3}} \right)}} = {{{{\log }_7}3 + 1 + 3{{\log }_7}2} \over {{{\log }_7}2 + 3{{\log }_7}3}}\)

Như vậy, để tính được \({\log _{54}}168\) qua a, b,c ta cần tính được \({\log _7}3\),\({\log _7}2\) qua a, b .

Từ giả thiết \(a = {\log _7}12\) , \(b = {\log _{12}}24\), ta tính được \({\log _7}2\),\({\log _7}3\) từ hệ phương trình

                                \(\left\{ \matrix{ 2{\log _7}2 + {\log _7}3 = a \hfill \cr 3{\log _7}2 + {\log _7}3 = ab \hfill \cr}  \right.\)     

b) \({\log _{25}}24 = {1 \over 2}{\log _5}24 = {3 \over 2}{\log _5}2 + {1 \over 2}{\log _5}3\)

Ta cần tính \({\log _5}2\) và \({\log _5}3\) theo \(a = {\log _6}15\) và \(b = {\log _{12}}18\)

Ta có \(a = {\log _6}15 = {{{{\log }_5}15} \over {{{\log }_5}6}} = {{1 + {{\log }_5}3} \over {{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}}\)        (1)

Ta có \(b = {\log _{12}}18 = {{{{\log }_5}18} \over {{{\log }_5}12}} = {{{{\log }_5}2 + 2{{\log }_5}3} \over {2{{\log }_5}2 + {{\log }_5}3}}\)       (2)

Từ (1) và (2), ta tính được \({\log _5}2\) và \({\log _5}3\) theo a và b .

Sachbaitap.com