Câu 2.85 trang 84 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a) Chứng minh rằng hàm số \(y = {{{2^x} - {2^{ - x}}} \over 3}\) đồng biến trên R                                               

b) Chứng minh rằng hàm số \(y = {\log _{{1 \over 2}}}x - {\log _{{1 \over 2}}}\left( {x + 1} \right)\) nghịch biến trên tập các số thực dương.      

Giải

a) Với \({x_1},{x_2}\) bất kì thuộc R ta có

\({y_1} - {y_2} = {{{2^{{x_1}}} - {2^{ - {x_1}}}} \over 3} - {{{2^{{x_2}}} - {2^{ - {x_2}}}} \over 3} = {{{2^{{x_1}}} - {2^{{x_2}}}} \over 3} + {{{2^{ - {x_2}}} - {2^{ - {x_1}}}} \over 3}\)

Vì hàm số \(y = {2^x}\) đồng biến trên R ,nên \({{{2^{{x_1}}} - {2^{{x_2}}}} \over 3} < 0;{{{2^{ - {x_2}}} - {2^{ - {x_1}}}} \over 3} < 0\)

Do đó \({y_1} - {y_2} < 0\) , tức là \({y_1} < {y_2}\).

Vậy hàm số \(y = {{{2^x} - {2^{ - x}}} \over 3}\) đồng biến trên R.

b) Cách làm tương tự câu a) với lưu ý hàm số \(y = {\log _{{1 \over 2}}}x\) nghịch biến trên tập các số thực dương.

Sachbaitap.com