Câu 2.93 trang 85 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Dùng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:

a) \(4{\log _9}x + {\log _x}3 = 3\)                                          

b) \({\log _x}2 - {\log _4}x + {7 \over 6} = 0\)                                               

c) \({{1 + {{\log }_3}x} \over {1 + {{\log }_9}x}} = {{1 + {{\log }_{27}}x} \over {1 + {{\log }_{81}}x}}.\)

Giải

a) Ta có: \({\log _x}3 = {1 \over {{{\log }_3}x}}\). Đặt \(t = {\log _3}x(t \ne 0)\) dẫn đến phương trình

\(2{t^2} - 3t + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _3}x = 1 \hfill \cr
{\log _3}x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 3 \hfill \cr
x = \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x = 3\) và \(x = \sqrt 3 \) 

b) Ta có: \({\log _x}2 = {1 \over {{{\log }_2}x}}\).            

Đặt \(t = {\log _2}x(t \ne 0)\) dẫn đến phương trình

\( - 3{t^2} + 7t + 6 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 3 \hfill \cr
t = {{ - 2} \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _2}x = 3 \hfill \cr
{\log _2}x = {{ - 2} \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 8 \hfill \cr
x = {2^{{{ - 2} \over 3}}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x = 8\) và \(x = {2^{ - {2 \over 3}}}\)

c) Đặt \(t = {\log _3}x\), ta có

\(\eqalign{& {{1 + t} \over {1 + {1 \over 2}t}} = {{1 + {1 \over 3}t} \over {1 + {1 \over 4}t}}\cr&\Leftrightarrow 3\left( {1 + t} \right)\left( {4 + t} \right) = 2\left( {2 + t} \right)\left( {3 + t} \right)  \cr&  \Leftrightarrow 12 + 15t + 3{t^2} = 12 + 10t + 2{t^2} \Leftrightarrow {t^2} + 5t = 0 \cr} \)

 \(\, \Leftrightarrow t = 0\) hoặc \(t =  - 5\)

Với \(t = 0\) thì \({\log _3}x = 0\), nên \(x = {3^0} = 1\)

Với \(t =  - 5\) thì \({\log _3}x =  - 5\), nên \(x = {3^{ - 5}} = {1 \over {243}}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm: \(x = 1\) và \(x = {1 \over {243}}\)

Sachbaitap.com