Câu 3.19 trang 89 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy xác định số thực a để dãy số $({u_n}),$ với ${u_n} = {{a{n^2} + 1} \over {2{n^2} + 3}},$ là:

a) Một dãy số giảm ;

b) Một dãy số tăng .

Giải

Viết lại công thức xác định ${u_n}$ dưới dạng.

${u_n} = {a \over 2} + {{2 - 3a} \over {2.\left( {2{n^2} + 3} \right)}}$

Từ đó, ta có

Quảng cáo

${u_{n + 1}} - {u_n} = {{2 - 3a} \over 2} \times \left( {{1 \over {2.{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 3}} - {1 \over {2{n^2} + 3}}} \right)\,\left( {\forall n \ge 1} \right)$                     (1)

Dễ thấy

$\left( {{1 \over {2.{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 3}} - {1 \over {2{n^2} + 3}}} \right)\, < 0\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right)$

Vì thế, từ (1) suy ra

a)  $({u_n})$ là một dãy số giảm $\Leftrightarrow {{2 - 3a} \over 2} > 0 \Leftrightarrow a < {2 \over 3}$

b) $({u_n})$ là một dãy số tăng $\Leftrightarrow {{2 - 3a} \over 2} < 0 \Leftrightarrow a < {2 \over 3}$

sachbaitap.com