Câu 3.2 trang 170 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:

a)  \(F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} \over {2x - 3}}\) và \(G(x) = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}}\)

b) \(F(x) = {1 \over {{{\sin }^2}x}}\)  và \(G(x) = 10 + {\cot ^2}x\)

c) \(F(x) = 5 + 2{\sin ^2}x\)  và \(G(x) = 1 - \cos 2x\)

Hướng dẫn làm bài

a) Vì \(F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} \over {2x - 3}} = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}} + 3 = G(x) + 3\)  nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của \(f(x) = {{2{x^2} - 6x - 20} \over {{{(2x - 3)}^2}}}\)

b) Vì \(G(x) = 10 + {\cot ^2}x = {1 \over {{{\sin }^2}x}} + 9 = F(x) + 9\) , nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của \(f(x) =  - {{2\cos x} \over {{{\sin }^3}x}}\)

c) Vì \(F'(x) = (5 + 2{\sin ^2}x)' = 2\sin 2x\)  và \(G'(x) = (1 - \cos 2x)' = 2\sin 2x\) , nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của cùng hàm số f(x) = 2sin2x

Sachbaitap.com