Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 3.55 trang 94 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho cấp số nhân

Cho cấp số nhân \(({u_n})\) và cho các số nguyên dương m, k với \(m < k.\) Chứng minh rằng

                                                                                \(\left| {{u_k}} \right| = \sqrt {{u_{k - m}}.{u_{k + m}}} .\)

Áp dụng. Hãy tìm một cấp số nhân với công bội âm, có 7 số hạng, số hạng thứ hai bằng 2 và tích của số hạng đầu với số hạng cuối bằng 18.

Giải

Kí hiệu q là công bội của cấp số nhân \(({u_n})\). Xét hai trường hợp sau :

\( - \) Trường hợp 1 : \(q = 0.\)  Khi đó \({u_n} = 0\)  với mọi \(n \ge 2.\) Vì thế, hiển nhiên ta có điều cần chứng minh.

\( - \) Trường hợp 2 : \(q \ne 0.\) Khi đó

\(\eqalign{
& {u_{k - m}} = {u_1}.{q^{k - m - 1}} = {{{u_1}.{q^{k - 1}}} \over {{q^m}}} = {{{u_k}} \over {{q^m}}}, \cr
& {u_{k + m}} = {u_1}.{q^{k + m - 1}} = {u_1}.{q^{k - 1}}.{q^m} = {u_k}.{q^m}. \cr} \)

Từ đó suy ra \({u_{k - m}}.{u_{k + m}} = u_k^2\) hay \(\left| {{u_k}} \right| = \sqrt {{u_{k - m}}.{u_{k + m}}} \)

Áp dụng. Với mỗi \(n \in \left\{ {1,2,3,4,5,6,7} \right\},\) kí hiệu \({u_n}\) là số hạng thứ n của cấp số nhân cấn tìm. Theo giả thiết của bài ra, ta có \({u_3} = 2\) và \({u_1}.{u_7} = 18.\)

Vì cấp số nhân cần tìm có công bội âm và \({u_3} > 0\) nên \({u_4} < 0\). Do đó, áp dụng kết quả đã chứng minh ở trên cho \(m = 3\) và \(k = 4,\) ta được

         \({u_4} =  - \sqrt {{u_1}.{u_7}}  =  - \sqrt {18}  =  - 3\sqrt 2 .\)

Suy ra      \(q = {{{u_4}} \over {{u_3}}} =  - {{3\sqrt 2 } \over 2}.\) Do đó

\(\eqalign{
& {u_2} = {{{u_3}} \over q} = - {{2\sqrt 2 } \over 3},{u_1} = {{{u_2}} \over q} = {4 \over 9},\cr&{u_5} = {u_4},q = 9,{u_6} = {u_5}.q = - {{27\sqrt 2 } \over 2}, \cr
& {u_7} = {u_6}.q = {{81} \over 2} \cr} \)

Vậy, cấp số nhân cần tìm là : \({4 \over 9}, - {{2\sqrt 2 } \over 3},2, - 3\sqrt 2 ,9, - {{27\sqrt 2 } \over 2},{{81} \over 2}.\)

sachbaitap.com

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.

Xem thêm tại đây: Bài 4. Cấp số nhân