Câu 4.15 trang 136 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 0,222…               b) 0,393939…           c) 0,27323232…

Giải

a) \({2 \over 9}\)                                     b) \({{13} \over {33}}\)

c) \(0,27323232 \ldots  = {{27} \over {100}} + {{32} \over {10000}}\)

\(+ {{32} \over {10000}}\left( {{1 \over {100}}} \right) + {{32} \over {10000}}{\left( {{1 \over {100}}} \right)^2} + ...\)

Dãy số

         \({{32} \over {10000}},{{32} \over {10000}}\left( {{1 \over {100}}} \right),{{32} \over {10000}}{\left( {{1 \over {100}}} \right)^2},...\)

Là một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = {{32} \over {10000}}\) và công bội \(q = {1 \over {100}}.\) Tổng của nó là \(S = {{{u_1}} \over {1 - q}}:\)

\({{32} \over {10000}} + {{32} \over {10000}}\left( {{1 \over {1000}}} \right) + {{32} \over {1000}}{\left( {{1 \over {100}}} \right)^2} + ...\)

\(= {{32} \over {10000}}{1 \over {1 - {1 \over {100}}}} = {{32} \over {9900}}\)

Do đó

           \(0,27323232 \ldots  = {{27} \over {100}} + {{32} \over {9900}} = {{541} \over {1980}}\)

Sachbaitap.com