Câu 4.52 trang 184 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm những số thực a, b, c là ba số thực sao cho \({\rm{cos}}a.c{\rm{os}}b.c{\rm{os}}c \ne 0\). Tìm phần ảo của số phức.

\(\left( {1 + i\tan a} \right)\left( {1 + i\tan b} \right)\left( {1 + i\tan c} \right)\)

Rồi từ đó suy ra rằng với ba số a, b, c như thế thì:

\({\rm{tana}} + \tan b + \tan c = t{\rm{ana}}.\tan b.\tan c\)

Khi và chỉ khi \(a + b + c = k\pi \left( {k \in R} \right)\)

Giải

Phần ảo của số phức \(\left( {1 + i{\mathop{\rm tana}\nolimits} } \right)\left( {1 + i{\mathop{\rm tanb}\nolimits} } \right)\left( {1 + i{\mathop{\rm tanc}\nolimits} } \right)\) bằng

 \(\tan a + \tan b + \tan c - \tan a\tan b\tan c\)

Vậy \(\tan a + \tan b + \tan c = \tan a\tan b\tan c\) khi và chỉ khi phần ảo của số phức đang xét bằng 0, tức là acgumen của số phức đó là một bội nguyên của \(\pi \)

Mặt khác ,  \(1 + i\tan a = {1 \over {{\rm{cos}}a}}\left( {{\rm{cos}}a + i\sin a} \right)\) có acgumen là \(a + l\pi \) (l là số nguyên bất kì); tương tự cho \(1 + i\tan b;1 + i\tan c\). Vậy

\(\left( {1 + i\tan a} \right)\left( {1 + i\tan b} \right)\left( {1 + i\tan c} \right)\) có acgumen là \(a + b + c + m\pi ,m \in Z\)

Kết luận:  \(\tan a + \tan b + \tan c = \tan a\tan b\tan c \)

\(\Leftrightarrow a + b + c = k\pi \left( {k \in Z} \right)\)