Câu 4.54 trang 143 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} - 3} \over {{x^3} + {x^2}}}\)                                  b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {2 - x} \right|} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)     

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {{1 - 2{x^2}} \over {x - 3}}\)                                d) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^2} - 4} } \over {x - 2}}.\)

Giải

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^2} - 3} \right) =  - 3,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {{x^3} + {x^2}} \right) = 0\) và \({x^3} + {x^2} = {x^2}\left( {1 + x} \right) > 0\)  với mọi \(x >  - 1\)  và \(x \ne 0.\) Do đó

                                \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{x^2} - 3} \over {{x^3} + {x^2}}} =  - \infty ;\)

b) \({{\left| {2 - x} \right|} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = {1 \over {\left| {x - 2} \right|}}\) với mọi \(x \ne 2.\)

Do đó

              \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {2 - x} \right|} \over {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {1 \over {\left| {x - 2} \right|}} =  + \infty ;\)

c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {1 - 2{x^2}} \right) =  - 17 < 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3} \right) = 0\) và \(x - 3 > 0\)  với mọi \(x > 3.\)

Do đó

                        \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {{1 - 2{x^2}} \over {x - 3}} =  - \infty \);

d) Với mọi \(x > 2,\) ta có

                        \({{\sqrt {{x^2} - 4} } \over {x - 2}} = {{\sqrt {x - 2} \sqrt {x + 2} } \over {x - 2}} = {{\sqrt {x + 2} } \over {\sqrt {x - 2} }}.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x + 2}  = 2 > 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \sqrt {x - 2}  = 0\)  và \(\sqrt {x - 2}  > 0\)  với mọi \(x > 2.\) Do đó

                        \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\sqrt {{x^2} - 4} } \over {x - 2}} =  + \infty .\)

Sachbaitap.com