Câu 4.63 trang 145 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng caoChứng minh Cho hàm số \(f:\left[ {0;1} \right] \to \left[ {0;1} \right]\) liên tục. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left[ {0;1} \right]\) sao cho \(f\left( c \right) = c.\) Giải Nếu \(f\left( 0\right) = 0\) hoặc \(f\left( 1 \right) = 1\) thì hiển nhiên điều khẳng định là đúng. Giả sử \(f\left( 0 \right) \ne 0\) và \(f\left( 1 \right) \ne 1.\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - x,x \in \left[ {0;1} \right].\) Hàm số \(g\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;1} \right].\) Vì mọi \(x \in \left[ {0;1} \right],0 \le f\left( x \right) \le 1\) nên \(f\left( 0 \right) > 0\) và \(f\left( 1 \right) < 1.\) Do đó \(g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) - 0 > 0\) và \(g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) - 1 < 0.\) Vì \(g\left( 0 \right),g\left( 1 \right) < 1\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in \left( {0;1} \right)\) sao cho \(g\left( c \right) = f\left( c \right) - c = 0,\) tức là \(f\left( c \right) = c.\) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
Xem thêm tại đây:
Bài 8: Hàm số liên tục
|
Chứng minh rằng phương trình có ít nhất một nghiệm âm