Câu 4.7 trang 134 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Áp dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \left( {3 + {{{n^2}\sin 3n} \over {{n^3} + 1}}} \right)\)          b) \(\lim \left( {{n \over {{n^2} + 1}} - 1} \right)\)

c) \(\lim {{2n} \over {2n + 1}}\)                           d) \(\lim {{n + 1} \over {2n + 1}}\)

e) \(\lim {{{{5.2}^n} - \cos 5n} \over {{2^n}}}\)                  f) \(\lim {{{n^2} + 2n + 3} \over {2{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)

Giải

a) \(\lim {{{n^2}\sin 3n} \over {{n^3} + 1}} = 0\) nên \(\lim \left( {3 + {{{n^2}\sin 3n} \over {{n^3} + 1}}} \right) = 3\)                                        

b) \(\lim {n \over {{n^2} + 1}}=0\) nên \(\lim \left( {{n \over {{n^2} + 1}} - 1} \right) =  - 1\)                                     

c) \({u_n} = {{2n} \over {2n + 1}} = {{2n + 1 - 1} \over {2n + 1}} = 1 - {1 \over {2n + 1}}\) với mọi n      

Vì  \(\lim \left( { - {1 \over {2n + 1}}} \right) = 0\) nên \(\lim {u_n} = 1\)

d) \({u_n} = {{n + 1} \over {2n + 1}} = {1 \over 2} + {1 \over {2\left( {2n + 1} \right)}}\) với mọi n

Do đó \(\lim {u_n} = {1 \over 2}\)

e) \({u_n} = {{{{5.2}^n} - \cos 5n} \over {{2^n}}} = 5 - {{\cos 5n} \over {{2^n}}}\)    

Vì \(\lim {{\cos 5n} \over {{2^n}}} = 0\) nên \(\lim {u_n} = 5\)                   

f) \({u_n} = {{{n^2} + 2n + 3} \over {2{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = {{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 2} \over {2{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = {1 \over 2} + {1 \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)

Vì \(\lim {1 \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = 0\) nên \(\lim {u_n} = {1 \over 2}\)

Sachbaitap.com