Câu 4.73 trang 148 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 1 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)

a) Chứng minh rằng \({u_n} \ne  - 4\) với mọi n.

b) Gọi \(\left( {{v_n}} \right)\) là dãy số xác định bởi

                                    \({v_n} = {{{u_n} + 1} \over {{u_n} + 4}}.\)

Chứng minh rằng \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân. Từ đó tìm giới hạn của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\).

Giải

a) Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp . Ta có \({u_1} = 1 \ne  - 4.\)

Giả sử \({u_n} \ne  - 4\). Ta chứng minh \({u_{n + 1}} \ne  - 4.\) Thật vậy,

\({u_{n + 1}} = - 4 \Leftrightarrow {{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} = - 4\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_n} \ne - 6 \hfill \cr
{u_n} - 4 = - 4\left( {{u_n} + 6} \right) \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow {u_n} = - 4.\)

Điều này trái với với giả thiết quy nạp.

b) \({v_{n + 1}} = {{{u_{n + 1}} + 1} \over {{u_{n + 1}} + 4}} = {{{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 1} \over {{{{u_n} - 4} \over {{u_n} + 6}} + 4}} = {{2{u_n} + 2} \over {5{u_n} + 20}} = {2 \over 5}.{u_n+1\over u_n+4}= {2 \over 5}{v_n}\) với mọi n.

Vậy dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với công bội  \(q = {2 \over 5}.\)  Đó là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Vì \({v_n} = {v_1}{\left( {{2 \over 5}} \right)^{n - 1}}\)  với mọi n nên \(\lim {v_n} = 0.\)

Từ đẳng thức trong b) suy ra \({u_n} = {{4{v_n} - 1} \over {1 - {v_n}}}.\)  Do đó

                                  \(\lim {u_n} =  - 1.\)

Sachbaitap.com