Câu 52 trang 37 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Tìm điều kiện của các biến trong mỗi phân thức sau đây. Chứng minh rằng khi giá trị của phân thức xác định thì giá trị đó không phụ thuộc vào các biến x và y (nghĩa là chứng tỏ rằng có thể biến đổi phân thức đã cho thành một biểu thức không chứa x và y ) :

a. \({{{x^2} - {y^2}} \over {\left( {x + y} \right)\left( {6x - 6y} \right)}}\)

b. \({{2ax - 2x - 3y + 3ay} \over {4ax + 6x + 9y + 6ay}}\) ( a là hằng số khác  )

Giải:

a. \({{{x^2} - {y^2}} \over {\left( {x + y} \right)\left( {6x - 6y} \right)}}\)xác định khi \(\left( {x + y} \right)\left( {6x - 6y} \right) \ne 0 \Rightarrow \left\{ {\matrix{  {x + y \ne 0}  \cr {6x - 6y \ne 0}  \cr } } \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne  - y}  \cr{x - y \ne 0}  \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x \ne  - y}  \cr{x \ne y}  \cr} } \right.\)

Điều kiện  

\({{{x^2} - {y^2}} \over {\left( {x + y} \right)\left( {6x - 6y} \right)}} = {{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)} \over {\left( {x + y} \right)6\left( {x - y} \right)}} = {1 \over 6}\)

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x, y

b. \({{2ax - 2x - 3y + 3ay} \over {4ax + 6x + 9y + 6ay}}\)xác định khi \(4ax + 6x + 9y + 6ay \ne 0\)

\( \Rightarrow 2x\left( {2a + 3} \right) + 3y\left( {2a + 3} \right) = \left( {2a + 3} \right)\left( {2x + 3y} \right) \ne 0\)

Vì \(a \ne  - {3 \over 2} \Rightarrow 2a + 3 \ne 0 \Rightarrow 2x + 3y \ne 0 \Rightarrow x \ne  - {3 \over 2}y\)

điều kiện : \(x \ne  - {3 \over 2}y\)với \(a \ne  - {3 \over 2}\)

\({{2ax - 2x - 3y + 3ay} \over {4ax + 6x + 9y + 6ay}} = {{2x\left( {a - 1} \right) + 3y\left( {a - 1} \right)} \over {\left( {2a + 3} \right)\left( {2x + 3y} \right)}} = {{\left( {a - 1} \right)\left( {2x + 3y} \right)} \over {\left( {2a + 3} \right)\left( {2x + 3y} \right)}} = {{a - 1} \over {2a + 3}}\)

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x, y