Loigiaihay.com 2025

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết

Câu 56 trang 125 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập Câu 56 trang 125 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD có \(BC = B{\rm{D}} = AC = A{\rm{D}};AB = a,C{\rm{D}} = a\sqrt 3 \). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, IJ = a.

a) Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Tính khoảng cách từ điểm cách đều bốn đỉnh A, B, C, D đến mỗi đỉnh đó.

Trả lời

 

a) 

\(\eqalign{
& \Delta BCD = \Delta ACD(c.c.c) \cr
& \Rightarrow BJ =AJ \cr} \)

Do đó \(\Delta ABJ\) cân tại J, suy ra \(IJ \bot AB\)

Chứng minh tương tự: \(IJ \bot CD\)

Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Gọi O là điểm cách đều các đỉnh A, B, C, D thì O thuộc đường thẳng IJ. Khi đó OA = OD. Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(I{A^2} + O{I^2} = O{J^2} + J{D^2}\), đặt \(I{\rm{O}} = x\) ta có đẳng thức

\(\eqalign{  & {{{a^2}} \over 4} + {x^2} = {\left( {a - x} \right)^2} + {\left( {{{a\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2}  \cr  &  \Leftrightarrow x = {3 \over 4}a \cr} \)

Như vậy khoảng cách từ điểm O đến mỗi đỉnh của tứ diện ABCD bằng

\(\sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{9{{\rm{a}}^2}} \over {16}}}  = {{a\sqrt {13} } \over 4}\).

Sachbaitap.com

Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.

Xem thêm tại đây: Bài 5: Khoảng cách