Câu 84 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng caoGiải bài tập Câu 84 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = b. Gọi S là điểm sao cho SA vuông góc với mp(ABC) và SA = h (h > 0). Trên cạnh CD lấy điểm M bất kì, đặt CM = x (0 ≤ x ≤a). a) Tính diện tích tam giác SBM theo a, b, h, x. b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBM) khi M là trung điểm của CD. c) Gọi hình chiếu của điểm A và điểm D trên mp(SBM) lần lượt là A1 và D1. Chứng minh rằng khi M thay đổi trên CD thì các điểm A1 và D1 thuộc một đường tròn cố định. Tính bán kính của mỗi đường tròn đó. Trả lời
a) Kẻ \(AK \bot MB\), do \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SK \bot MB\) (định lí ba đường vuông góc). Vậy \({S_{SBM}} = {1 \over 2}BM.SK\) Mặt khác \(BM = \sqrt {{b^2} + {x^2}} \) và \(AK.MB = 2{{\rm{S}}_{AMB}} = ab\) tức là \(AK = {{ab} \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}\) Từ đó \(\eqalign{ & S{K^2} = S{A^2} + A{K^2} = {h^2} + {{{a^2}{b^2}} \over {{b^2} + {x^2}}} \cr & = {{{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} \over {{b^2} + {x^2}}} \cr} \) Vậy \({S_{SBM}} = {1 \over 2}\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} \) b) Với A1 là hình chiếu A trên SK, dễ thấy \(A{A_1} \bot \left( {SBM} \right)\). Từ đó \(A{A_1}.SK = SA.AK\) suy ra \(A{A_1} = {{SA.AK} \over {SK}}\) hay \(\eqalign{ & A{A_1} = {{h.{{ab} \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}} \over {{{\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} } \over {\sqrt {{b^2} + {x^2}} }}}} \cr & = {{abh} \over {\sqrt {{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {h^2}{x^2}} }} \cr} \) Khi trung điểm DC thì \(x = {a \over 2}\) nên \(A{A_1} = {{2abh} \over {\sqrt {4{a^2}{b^2} + 4{b^2}{h^2} + {a^2}{h^2}} }}\) c) Vì \(A{A_1} \bot \left( {SMB} \right)\) nên \(A{A_1} \bot SB\) mặt khác \(A{\rm{D}} \bot SB\), từ đó \(mp\left( {A{\rm{D}}{A_1}} \right) \bot SB.\) Gọi giao điểm của SB với mp(ADA1) là I thì \(AI \bot SB\), từ đó I là điểm cố định và mp(ADA1) cố định. Như vậy, điểm A1 nhìn AI cố định dưới góc vuông và A1 thuộc mặt phẳng cố định (ADI), tức là A1 thuộc đường tròn đường kính AI trong mp(ADI). Bán kính của đường tròn đó bằng \({{AI} \over 2}\) mà \(AI.SB = SA.AB\) hay \(AI = {{ah} \over {\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}\) Vậy bán kính của đường tròn trên bằng \({{ah} \over {2\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}\). Vì D1 là hình chiếu của D trên mp(SBM) nên DD1 // AA1 và dễ thất D1 thuộc đường thẳng A1I. Như vậy, D1 thuộc mp(ADI) và D1 nhìn DI dưới góc vuông, tức là điểm D1 thuộc đường tròn đường kính DI trong mp(ADI). Bán kính của đường tròn đó \({{DI} \over 2}\). Mặt khác \(\eqalign{ & D{I^2} = D{A^2} + A{I^2} \cr & = {b^2} + {{{a^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}} \cr & = {{{a^2}{b^2} + {b^2}{h^2} + {a^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}} \cr} \) Từ đó, bán kính của đường tròn đó là \({1 \over 2}\sqrt {{{{a^2}{b^2} + {a^2}{h^2} + {b^2}{h^2}} \over {{a^2} + {h^2}}}} \) Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 Nâng cao - Xem ngay >> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.
Xem thêm tại đây:
Ôn tập chương III. Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc
|
Giải bài tập Câu 85 trang 130 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 86 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 87 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao
Giải bài tập Câu 88 trang 131 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao