Câu 84 trang 171 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường  thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng:

a)      Tam giác EBF là tam giác cân ;

b)      Tam giác HAF là tam giác cân ;

c)      HA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Giải:

a) Gọi I là giao điểm của AD và BC

Vì BC là đường trung trực của AD nên theo tính chất đường trung trực ta có:

            BA = BD

Tam giác BAD cân tại B có BI ⊥ AD nên BI là tia phân giác của góc ABD.

Suy ra: \(\widehat {ABI} = \widehat {DBI}\)

Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) (đối đỉnh)

và \(\widehat {DBI} = \widehat {HBE}\) ( đối đỉnh)

Suy ra: \(\widehat {HBE} = \widehat {HBF}\)

Tam giác EBF có BH là tia phân giác của góc EBF và BH ⊥ EF nên tam giác EBF cân tại B.

b) Tam giác EBF cân tại B nên HE = HF

Tam giác AEF vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

\(HA = HE = HF = {1 \over 2}{\rm{EF}}\) (tính chất tam giác vuông)

Vậy tam giác AHF cân tại H.

c) Tam giác AHF cân tại H nên \(\widehat {HAF} = \widehat {HFA}\)        (1)

Tam giác AOB cân tại O nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\)

Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) ( đối đỉnh)

Suy ra: \(\widehat {OAB} = \widehat {HBF}\)                  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {HAO} = \widehat {{\rm{HAF}}} + \widehat {OAB} = \widehat {HFB} + \widehat {HBF}\)    (3)

Tam giác BHF vuông tại H nên \(\widehat {HFB} + \widehat {HBF} = 90^\circ \)      (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(\widehat {HAO} = 90^\circ \) hay HA ⊥ AO

Vậy HA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Sachbaitap.com