Câu 84 trang 171 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có đường kính BC. Kẻ dây AD vuông góc với BC. Gọi E là giao điểm của DB và CA. Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC ở H, cắt AB ở F. Chứng minh rằng: a) Tam giác EBF là tam giác cân ; b) Tam giác HAF là tam giác cân ; c) HA là tiếp tuyến của đường tròn (O). Giải:
a) Gọi I là giao điểm của AD và BC Vì BC là đường trung trực của AD nên theo tính chất đường trung trực ta có: BA = BD Tam giác BAD cân tại B có BI ⊥ AD nên BI là tia phân giác của góc ABD. Suy ra: \(\widehat {ABI} = \widehat {DBI}\) Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) (đối đỉnh) và \(\widehat {DBI} = \widehat {HBE}\) ( đối đỉnh) Suy ra: \(\widehat {HBE} = \widehat {HBF}\) Tam giác EBF có BH là tia phân giác của góc EBF và BH ⊥ EF nên tam giác EBF cân tại B. b) Tam giác EBF cân tại B nên HE = HF Tam giác AEF vuông tại A có AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên: \(HA = HE = HF = {1 \over 2}{\rm{EF}}\) (tính chất tam giác vuông) Vậy tam giác AHF cân tại H. c) Tam giác AHF cân tại H nên \(\widehat {HAF} = \widehat {HFA}\) (1) Tam giác AOB cân tại O nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\) Mà \(\widehat {ABI} = \widehat {HBF}\) ( đối đỉnh) Suy ra: \(\widehat {OAB} = \widehat {HBF}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {HAO} = \widehat {{\rm{HAF}}} + \widehat {OAB} = \widehat {HFB} + \widehat {HBF}\) (3) Tam giác BHF vuông tại H nên \(\widehat {HFB} + \widehat {HBF} = 90^\circ \) (4) Từ (3) và (4) suy ra: \(\widehat {HAO} = 90^\circ \) hay HA ⊥ AO Vậy HA là tiếp tuyến của đường tròn (O). Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 9 - Xem ngay >> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com, cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Xem thêm tại đây:
Ôn tập chương II - Đường tròn
|
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và BM.
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O) có đường kính CB.
Cho hai đường tròn (O ; R) và (O' ; R') tiếp xúc ngoài tại A ( R > R').
Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB. Vẽ đường tròn (M ; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M ( C và D là các tiếp điểm khác H).