Đề 1 trang 135 Sách bài tập (SBT) Hình học 12

ĐỀ 1 (45 PHÚT)

Câu 1 (6 điểm) trang 135 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình tổng quát: \(2x + y – z – 6 = 0.\)

a) Viết phương trình mặt phẳng \((\beta )\) đi qua O và song song với \((\alpha )\).

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\).

c) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng \((\alpha )\).

Hướng dẫn làm bài

a) Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình:  \(2x + y – z – 6 = 0\)

 \((\beta )\) đi qua O(0; 0 ;0) và \((\beta )//(\alpha )\) , suy ra phương trình của  \((\beta )\) là  2x + y – z = 0.

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua O và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\), suy ra phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\matrix{{x = 2t} \cr {y = t} \cr {z = - t} \cr} } \right.\)

c)\(d(O,(\alpha )) = {{| - 6|} \over {\sqrt {4 + 1 + 1} }} = \sqrt 6 \)

Câu 2 (4 điểm) trang 135 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho bốn điểm A(1;1; 1), B(2; 2; 1), C(1; 2; 2), D(2; 1; 2).

a) Chứng minh AB và CD chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C, D.

Hướng dẫn làm bài

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} (1;1;0),\overrightarrow {AC} (0;1;1),\overrightarrow {AD} (1;0;1)\)

\(\overrightarrow {AB}  \wedge \overrightarrow {AC}  = (1; - 1;1),\overrightarrow {AD} .(\overrightarrow {AB}  \wedge \overrightarrow {AC} ) = 2 \ne 0\)

Do đó A, B, C, D không đồng phẳng suy ra AB và CD chéo nhau.

b) Mặt phẳng trung trực của AB đi qua trung điểm \(I({3 \over 2};{3 \over 2};1)\) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {AB} (1;1;0)\) nên phương trình của nó là \((x - {3 \over 2}) + (y - {3 \over 2}) = 0\)

Tương tự, mặt phẳng trung trực của AC là \((y - {3 \over 2}) + (z - {3 \over 2}) = 0\) , mặt phẳng trung trực của AD là \((x - {3 \over 2}) + (z - {3 \over 2}) = 0\)

Tọa độ tâm I của mặt cầu đi qua A, B, C, D thỏa mãn hệ phương trình:

\(\left\{ {\matrix{{(x - {3 \over 2}) + (y - {3 \over 2}) = 0} \cr {(y - {3 \over 2}) + (z - {3 \over 2}) = 0} \cr {(x - {3 \over 2}) + (z - {3 \over 2}) = 0} \cr} } \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{(x - {3 \over 2}) + (y - {3 \over 2}) + (z - {3 \over 2}) = 0} \cr {(y - {3 \over 2}) + (z - {3 \over 2}) = 0} \cr {(x - {3 \over 2}) + (z - {3 \over 2}) = 0} \cr}} \right.\)

\(\Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{x = {3 \over 2}} \cr {y = {3 \over 2}} \cr {z = {3 \over 2}} \cr} } \right.\)

Vậy \(I({3 \over 2};{3 \over 2};{3 \over 2})\)  .  \(IA = \sqrt {{{({1 \over 2})}^2} + {{({1 \over 2})}^2} + {{({1 \over 2})}^2}}  = {{\sqrt 3 } \over 2}\)

Phương trình mặt cầu phải tìm là  \({(x - {3 \over 2})^2} + {(y - {3 \over 2})^2} + {(z - {3 \over 2})^2} = {3 \over 4}\).

Sachbaitap.com