Bài 2.22 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại M. Gọi P là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng MP vuông góc với BC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \)

Gợi ý làm bài

(h.2.26)

\(2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC}  = (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD} )(\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} )\)

\( = \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  - \underbrace {\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} }_0 + \underbrace {\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MC} }_0 - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \)

\(= \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB} \)

Do đó: \(\overrightarrow {MP}  \bot \overrightarrow {BC}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB}\)

Sachbaitap.net