Bài 3.24 trang 152 Sách bài tập (SBT) Hình học 11Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có \(AB \bot C{\rm{D}}\) và \(AC \bot B{\rm{D}}\) thì \(AD \bot BC\). Giải: Vẽ \(AH \bot \left( {BC{\rm{D}}} \right)\) tại H, ta có \(C{\rm{D}} \bot AH\) và vì \(C{\rm{D}} \bot AB\) ta suy ra \(C{\rm{D}} \bot BH\). Tương tự vì \({\rm{BD}} \bot AC\) ta suy ra \({\rm{BD}} \bot CH\) Vậy H là trực tâm của tam giác BCD tức là \(DH \bot BC\) Vì \(AH \bot BC\) nên ta suy ra \(BC \bot A{\rm{D}}\) Cách khác . Trước hết ta hãy chứng minh hệ thức: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {{\rm{AD}}} .\overrightarrow {BC} = 0\) với bốn điểm A, B, C, D bất kì. Thực vậy , ta có: \(\eqalign{ \(\left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)\) Do đó nếu \(AB \bot CD\) nghĩa là \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {C{\rm{D}}} = 0\,\,\), \(AC \bot BD\) nghĩa là \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B{\rm{D}}} = 0\,\,\) Từ hệ thức (4) ta suy ra \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0\,\,\), do đó \(A{\rm{D}} \bot BC\). Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 11 - Xem ngay >> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
Xem thêm tại đây:
Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc
|
Cho tam giác ABC vuông tại B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD).
Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có SA = SB = SC = a. Chứng minh:
a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông