Câu 12 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2

Hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O (h.11). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BD và AC. Cho biết MD = 3MO, đáy lớn CD = 5,6cm.

a. Tính độ dài đoạn thẳng MN và đáy nhỏ AB.

b. So sánh độ dài đoạn thẳng MN với nửa hiệu các độ dài của CD và AB.

Giải:

a. Vì ABCD là hình thang cân có AB // CD nên:

AC = BD         (1)

Xét ∆ADC và ∆BCD, ta có:

AC = BD (chứng minh trên )

AD = BC (ABCD cân)

CD cạnh chung

Suy ra: ∆ADC = ∆BCD (c.c.c)

Suy ra: \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\)

Hay \(\widehat {OCD} = \widehat {ODC}\)

Suy ra tam giác OCD cân tại O

Suy ra: OC = OD (tính chất tam giác cân)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra: OA = OB

Lại có: MD = 3MO (gt) ⇒ NC = 3NO

Trong tam giác OCD, ta có: \({{MO} \over {MD}} = {{NO} \over {NC}} = {1 \over 3}\)

Suy ra: MN // CD (Định lí đảo của định lí Ta-lét )

Ta có: OD = OM + MD = OM + 3OM = 4OM

Trong tam giác OCD, ta có: MN // CD

Suy ra: \({{OM} \over {OD}} = {{MN} \over {CD}}\)  (Hệ quả định lí Ta-lét )

Suy ra: \({{MN} \over {CD}} = {{OM} \over {4OM}} = {1 \over 4}\)

Suy ra: \(MN = {1 \over 4}CD = {1 \over 4}.5,6 = 1,4\) (cm)

Ta có: MB = MD (gt)

Suy ra: MB = 3OM hay OB = 2OM

Lại có: AB // CD (gt), suy ra: MN // AB

Trong tam giác OAB, ta có: MN // AB

Suy ra: \({{OM} \over {OB}} = {{MN} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét )

Suy ra: \({{MN} \over {AB}} = {{OM} \over {2OM}} = {1 \over 2}\)

Vậy AB = 2MN = 2.1,4 = 2,8 (cm)

b. Ta có: \({{CD - AB} \over 2} = {{5,6 - 2,8} \over 2} = {{2,8} \over 2} = 1,4\) (cm)

Vậy MN\( = {{CD - AB} \over 2}\)

Sachbaitap.com