Câu 1.37 trang 14 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

a) \(2{\sin ^2}x + 4{\cos ^3}x = 3\sin x\)                               

b) \(3{\sin ^2}{x \over 2}\cos x\left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} \)

\(= \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} + {\sin ^2}\left( {{x \over 2} + {\pi  \over 2}} \right)\cos {x \over 2}\)

Giải

a) 

Những giá trị của \(x\) mà \(\cos x = 0\) thì \(\sin x =  \pm 1\) nên không có nghiệm của phương trình đã cho . Với \(\cos x \ne 0\) , chia hai vế của nó cho \({\cos ^3}x\) , ta được

\(2{\tan ^3}x + 4 = 3\tan x(1 + {\tan ^2}x)\). Vậy phương trình đã cho tương đương với

\(\left( {\tan x - 1} \right)\left( {{{\tan }^2}x + \tan x + 4} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 4} + k\pi \).

b) Do \(\cos \left( {{{3\pi } \over 2} + {x \over 2}} \right) = \sin {x \over 2}\)  và \(\sin \left( {{\pi  \over 2} + {x \over 2}} \right) = \cos {x \over 2}\) nên phương trình đã cho có thể viết thành

  \(3{\sin ^3}{x \over 2} + 3{\sin ^2}{x \over 2}\cos {x \over 2} - \sin {x \over 2}{\cos ^2}{x \over 2} - {\cos ^3}{x \over 2} = 0(*)\)

Với điều kiện \(\cos {x \over 2} \ne 0\) , chia hai vế của (*) cho \({\cos ^3}{x \over 2}\) thì được phương trình

  \(3{\tan ^3}{x \over 2} + 3{\tan ^2}{x \over 2} - \tan {x \over 2} - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)hay \(\left( {\tan {x \over 2} + 1} \right)\left( {3{{\tan }^2}{x \over 2} - 1} \right) = 0\)

\(x =  - {\pi  \over 2} + 2k\pi \) và \(x =  \pm {\pi  \over 3} + 2k\pi \).

sachbaitap.com