Câu 1.62 trang 22 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho hai hàm số

    \(f(x) =  - {1 \over 4}{x^2} + x + {1 \over 4}\) và \(g(x) = \sqrt {{x^2} - x + 1} \)

a) Chứng minh rằng đồ thị (P) của hàm số f và đồ thị (C) của hàm số g tiếp xúc với nhau tại điểm A có hoành độ x = 1.                                

b) Viết phương trình tiếp tuyến chung (D) của (P) và (C) tại điểm A.

c) Chứng minh rằng (P) nằm phía dưới đường thẳng (D) và (C) nằm phía trên (D).

Giải

b) \(y = {x \over 2} + {1 \over 2}\)

c) 

Đặt \(h(x) = {x \over 2} + {1 \over 2}\) ta có

                                \(g(x) - h(x) = \sqrt {{x^2} - x + 1}  - {{x + 1} \over 2}\)

- Với \(x + 1 \le 0\) hay \(x \le  - 1\) , ta có \(g(x) - h(x) > 0\)

- Với \(x + 1 > 0\) hay \(x >  - 1\)

                                    \(g(x) - h(x) > 0\)

                                \(\eqalign{&  \Leftrightarrow g(x) > h(x)  \cr&  \Leftrightarrow {g^2}(x) > {h^2}(x)  \cr&  \Leftrightarrow 4({x^2} - x + 1) > {\left( {x + 1} \right)^2}  \cr&  \Leftrightarrow 3{\left( {x - 1} \right)^2} > 0 \cr} \)

Vậy \(g(x) - h(x) \ge 0\) với mọi \(x \in R\) và chỉ có đẳng thức x = 1.

Sachbaitap.com