Câu 3.15 trang 87 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Hãy xét tính tăng - giảm của các dãy số sau:

a) Dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) với \({a_n} = 2{n^3} - 5n + 1\)

b) Dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) với \({b_n} = {3^n} - n\)

c) Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) với \({c_n} = {n \over {{n^2} + 1}}\)

Giải

a) Với mỗi \(n \in N^*,\) ta có

\(\eqalign{
 {a_{n + 1}} - {a_n} &= \left[ {2{{\left( {n + 1} \right)}^3} - 5\left( {n + 1} \right) + 1} \right] \cr&- \left( {2{n^3} - 5n + 1} \right) \cr
& = 2\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^3} - {n^3}} \right] - 5\left( {n + 1 - n} \right) \cr
&  = 2\left[ {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + \left( {n + 1} \right).n + {n^2}} \right] - 5 \cr
& = 6{n^2} + 6n - 3\cr& = 3.\left( {{n^2} - 1} \right) + 3{n^2} + 6n > 0\,\left( {do\,\,n \ge 1} \right) \cr} \)

Vì thế, dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) là một dãy số tăng.

b) Dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) là một dãy số tăng.

Xét hiệu \({b_{n + 1}} - {b_{n.}}\)

\(\eqalign{
& \left[ {{3^{n + 1}} - \left( {n + 1} \right)} \right] - \left[ {{3^n} - n} \right] \cr
& = {3^{n + 1}} - 1 - {3^n} \cr
& = {2.3^n} - 1 > 0\,\,\forall n \ge 1 \cr} \)

c) Dãy số \(\left( {{c_n}} \right)\) là một dãy số giảm. 

Xét hiệu \({c_{n + 1}} - {c_{n.}}\)

\({{n + 1} \over {{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - {n \over {{n^2} + 1}} < 0\)

sachbaitap.com