Câu 41 trang 11,12 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1

Rút gọn các biểu thức:

a) \(\sqrt {{{x - 2\sqrt x  + 1} \over {x + 2\sqrt x  + 1}}} \) (x ≥ 0);

b) \({{x - 1} \over {\sqrt y  - 1}}\sqrt {{{{{(y - 2\sqrt y  + 1)}^2}} \over {{{(x - 1)}^4}}}} \) (x ≠1, y ≠ 1 và y ≥ 0).

Gợi ý làm bài

a) Vì x ≥ 0 nên \(x = {\left( {\sqrt x } \right)^2}\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{x - 2\sqrt x + 1} \over {x + 2\sqrt x + 1}}} \cr
& = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} - 2\sqrt x + 1} \over {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2} + 2\sqrt x + 1}}} \cr
& = \sqrt {{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}} \cr} \)

\( = {{\sqrt {{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)}^2}} }} = {{\left| {\sqrt x  - 1} \right|} \over {\left| {\sqrt x  + 1} \right|}} = {{\left| {\sqrt x  - 1} \right|} \over {\sqrt x  + 1}}\)

- Nếu \(\sqrt x  - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)  thì \(\left| {\sqrt x  - 1} \right| = \sqrt x  - 1\)

Ta có: \({{\left| {\sqrt x  - 1} \right|} \over {\sqrt x  + 1}} = {{\sqrt x  - 1} \over {\sqrt x  + 1}}\) (với x ≥ 1)

- Nếu \(\sqrt x  - 1 < 0 \Leftrightarrow x < 1\) thì \(\left| {\sqrt x  - 1} \right| = 1 - \sqrt x \)

Ta có: \({{\left| {\sqrt x  - 1} \right|} \over {\sqrt x  + 1}} = {{1 - \sqrt x } \over {\sqrt x  + 1}}\) (với 0 ≤ x < 1)

b) Vì y ≥ 0 nên \(y = {\left( {\sqrt y } \right)^2}\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}\sqrt {{{{{ {y - 2\sqrt y + 1} }}} \over {{{(x - 1)}^4}}}} \cr
& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}{{\sqrt {{{\left( \sqrt y - 1 \right)}^2}} } \over {\sqrt {{{(x - 1)}^4}} }} \cr} \)

\(\eqalign{
& = {{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}.{{\left| \sqrt y-1 \right|} \over {{{(x - 1)}^2}}}  \cr} \)

+ Nếu y>1 thì ta có \(\left| \sqrt y-1 \right|=\sqrt y-1\) nên kết quả là \({{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}.{{ \sqrt y-1 } \over {{{(x - 1)}^2}}} =\dfrac {1}{x-1}\)

+ Nếu y<1 thì ta có \(\left| \sqrt y-1 \right|=-(\sqrt y-1)\) nên kết quả là \({{x - 1} \over {\sqrt y - 1}}.{{ -(\sqrt y-1) } \over {{{(x - 1)}^2}}} =-\dfrac {1}{x-1}\)

Sachbaitap.net