Câu 43 trang 59 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

43. Trang 59 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao 

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. M là trung điểm của cạnh bên SA, N là trung điểm của cạnh bên SC.

a) Xác định các thiết diện của hình chóp khi cắt bởi các mặt phẳng lần lượt qua M, N và song song với mp(SBD).

b) Gọi I, J là giao điểm của hai mặt phẳng nói trên với AC. Chứng minh rằng \(IJ = {1 \over 2}AC\).

Giải

a) 

Giả sử (P) là mặt phẳng qua M và song song với mp(SBD) và E, F là giao điểm của (P) với các cạnh AB và AD. Khi đó, dễ thấy ME // SB, MF // SD và EF // BD. Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M và song song với mp(SBD) là tam giác MEF.

Tương tự, thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua N và song song với mp(SBD) là tam giác NKH với NK // SB, NH // SD, KH // BD.

b) I, J lần lượt là giao điểm của hai mặt phẳng (MEF), (NKH) với AC cũng chính là giao điểm của EF, KH với AC. Do M là trung điểm của SA và ME // SB, MF // SD nên E, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Từ đó suy ra I là trung điểm của AO, (ở đây O là giao điểm của AC và BD).

Vậy \(IO = {1 \over 2}AO\)

Tương tự \({\rm{OJ}} = {1 \over 2}OC\). Vậy \({\rm{IJ}} = {1 \over 2}AC\)

sachbaitap.com