Câu 9 trang 100 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2Chứng minh rằng cung lớn AB có sđ cung AB = sđ cung AC = sđ cung CB. Cho C là một điểm nằm trên cung lớn AB của đường tròn (O). Điểm C của cung lớn AB thành hai cung AC và CB. Chứng minh rằng cung lớn AB có sđ cung AB = sđ cung AC = sđ cung CB. Hướng dẫn: Xét 3 trường hợp: a) Tia OC nằm trong góc đối đỉnh của góc ở tâm AOB. b) Tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB c) Tia OC nằm trong một góc kề bù với góc ở tâm AOB Giải a) Trường hợp tia OC nằm trong góc đối đỉnh với \(\widehat {AOB}\) Kẻ đường kính CD Suy ra: OD nằm giữa OA và OB nên điểm D nằm trên cung nhỏ cung AB \( \Rightarrow \) sđ cung AD (nhỏ) + sđ cung BD (nhỏ) = sđ cung AB (nhỏ) (1) Vì OA nằm giữa OC và OD nên điểm A nằm trên cung nửa đường tròn CD. \( \Rightarrow \) sđ cung AD (nhỏ) + sđ cung AC (nhỏ) = 1800 (2) Vì OB nằm giữa OC và OD nên điểm B nằm trên cung nửa đường tròn CD. \( \Rightarrow \) sđ cung BD (nhỏ) + sđ cung BC (nhỏ) = 1800 (3) Cộng từng vế (2) và (3): sđ cung AD (nhỏ) + sđ cung AC (nhỏ) + sđ cung BD (nhỏ) + sđ cung BC (nhỏ) = 3600 (4) Từ (1) và (4) suy ra: sđ cung AC (nhỏ) + sđ cung BC (nhỏ) + sđ cung AB (nhỏ) = 3600 \( \Rightarrow \) sđ cung AC (nhỏ) + sđ cung BC (nhỏ) = 3600 - sđ cung AB (nhỏ) Mà 3600 - sđ cung AB (nhỏ) = sđ cung AD (lớn) Vậy với cung lớn AB ta có: sđ cung AB = sđ cung AC + sđ cung BC b)
Trường hợp tia OC trùng với tia đối của một cạnh của góc ở tâm AOB ta có: \(\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\); \(\widehat {AOC} = {180^0}\) \( \Rightarrow \widehat {AOB} + \widehat {BOC} + \widehat {AOC} = {360^0}\) \( \Rightarrow \widehat {AOC} + \widehat {BOC} = {360^0} - \widehat {AOB}\) Suy ra: sđ cung AB + sđ cung BC (nhỏ) = 3600 - sđ cung AB (nhỏ) Vậy với cung lớn AB ta có: sđ cung AB = sđ cung AC (nhỏ) + sđ cung BC c) Trong hợp tia OC nằm trong góc kề bù với góc ở tâm AOB, kẻ đường kính AE. Theo trường hợp b ta có: sđ cung AB (lớn) = sđ cung AE (nhỏ) + sđ cung BE (nhỏ) Ta xét trường hợp C nằm trên cung nhỏ EB: sđ cung EB (nhỏ) = sđ cung EC (nhỏ) + sđ cung CB (nhỏ) \( \Rightarrow \) sđ cung AB (lớn) = sđ cung AE + sđ cung EC (nhỏ) + sđ cung CB (nhỏ) Theo kết quả trường hợp b ta có: sđ cung AE + sđ cung EC (nhỏ)= sđ cung AC (lớn) Vậy với cung AB lớn ta có: sđ cung AB = sđ cung AC + sđ cung CB Trong trường hợp OC nằm trên góc đối với góc ở tâm \(\widehat {BOE}\) chứng minh tương tự. Trong trường hợp OC nằm trên góc đối đỉnh với góc ở tâm \(\widehat {AOB}\) chứng minh ở trường hợp a. Sachbaitap.com
Xem lời giải SGK - Toán 9 - Xem ngay >> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com, cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
Xem thêm tại đây:
Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung
|
So sánh và sắp xếp độ dài AB, BC, CA theo thứ tự tăng dần.
Chứng minh rằng: a) Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau.